Orthogonalité et distances dans l’espace - Spécialité

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit les plans \(P\) et \(P'\) ayant pour vecteur normal respectivement \(\vec{u} \left(-7;y;5\right) \) et \(\vec{v} \left(15;-70;-7\right) \).

Combien doit valoir \(y\) pour que \(P\) et \(P'\) soient orthogonaux ?

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit les droites \(d\) et \(d'\) ayant pour vecteur directeur respectivement \(\vec{u} \left(-3;2;z\right) \) et \(\vec{v} \left(-4;-19;-26\right) \).

Combien doit valoir \(z\) pour que \(d\) et \(d'\) soient orthogonales ?

Parmi les droites suivantes, lesquelles sont orthogonales ?

• A.\(d\) de vecteur directeur \(\vec{u} \left(-1;-5;-3\right) \) et passant par le point M\(\left(2;7;-4\right)\)
  \(d'\) de vecteur directeur \(\vec{v} \left(21;-2;-4\right) \) et passant par le point N\(\left(3;2;-2\right)\)
  
  
• B.\(d\) de vecteur directeur \(\vec{u} \left(-1;-2;1\right) \) et passant par le point M\(\left(5;6;-2\right)\)
  \(d'\) de vecteur directeur \(\vec{v} \left(-8;4;0\right) \) et passant par le point N\(\left(7;4;3\right)\)
  
  
• C.\(d\) de vecteur directeur \(\vec{u} \left(-2;1;3\right) \) et passant par le point M\(\left(-3;7;-7\right)\)
  \(d'\) de vecteur directeur \(\vec{v} \left(-4;10;-6\right) \) et passant par le point N\(\left(3;-5;3\right)\)
  
  
• D.\(d\) de vecteur directeur \(\vec{u} \left(-3;1;-2\right) \) et passant par le point M\(\left(4;4;-5\right)\)
  \(d'\) de vecteur directeur \(\vec{v} \left(-6;-12;-6\right) \) et passant par le point N\(\left(1;7;-2\right)\)
  
  

Le système suivant, représente-t-il une droite ou un plan ? \[ \begin{cases} -8x + 9y + 3z = 3 \\ -16x + 18y + 6z = 6 \end{cases} \]

Si le système représente une droite, donner un vecteur directeur de cette droite.
Si le système représente un plan, donner un vecteur normal au plan.
On donnera la réponse sous la forme d'un vecteur. Exemple: \(\left(1; 2; -2\right)\)

Parmi les plans suivants, lesquels sont orthogonaux ?

• A.\(P\) de vecteur normal \(\vec{u} \left(-2;7;-4\right) \) et passant par le point M\(\left(-3;-5;4\right)\)
  \(P'\) de vecteur normal \(\vec{v} \left(16;12;4\right) \) et passant par le point N\(\left(3;5;6\right)\)
  
  
• B.\(P\) de vecteur normal \(\vec{u} \left(3;-1;1\right) \) et passant par le point M\(\left(4;-2;-1\right)\)
  \(P'\) de vecteur normal \(\vec{v} \left(0;0;3\right) \) et passant par le point N\(\left(7;7;4\right)\)
  
  
• C.\(P\) de vecteur normal \(\vec{u} \left(-4;-1;3\right) \) et passant par le point M\(\left(-7;-3;2\right)\)
  \(P'\) de vecteur normal \(\vec{v} \left(16;-31;11\right) \) et passant par le point N\(\left(1;-3;-4\right)\)
  
  
• D.\(P\) de vecteur normal \(\vec{u} \left(-5;4;-3\right) \) et passant par le point M\(\left(4;-1;-6\right)\)
  \(P'\) de vecteur normal \(\vec{v} \left(-7;21;41\right) \) et passant par le point N\(\left(-5;5;-4\right)\)